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协方差(Covariance,COV)
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协方差(Covariance,COV)
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puyang
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puyang
发表于 2010-5-16 02:00:18
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什么是协方差
在
概率论
和
统计学
中,协方差用于衡量两个变量的总体误差。而
方差
是协方差的一种特殊情况,即当两个变量是相同的情况。
期望值分别为
E
(
X
) = μ 与
E
(
Y
) = ν 的两个实数随机变量
X
与
Y
之间的
协方差
定义为:
其中,E是期望值。它也可以表示为:
直观上来看,协方差表示的是两个变量总体的误差,这与只表示一个变量误差的
方差
不同。
如果两个变量的变化趋势一致,也就是说如果其中一个大于自身的期望值,另外一个也大于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是正值。
如果两个变量的变化趋势相反,即其中一个大于自身的期望值,另外一个却小于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是负值。
如果
X
与
Y
是统计独立的,那么二者之间的协方差就是0。这是因为
但是,反过来并不成立。即如果
X
与
Y
的协方差为0,二者并不一定是统计独立的。
协方差cov(
X
,
Y
)的度量单位是
X
的协方差乘以
Y
的协方差。而取决于协方差的相关性,是一个衡量线性独立的无量纲的数。
协方差为0的两个
随机变量
称为是不相关的。
协方差属性
如果
X
与
Y
是实数随机变量,
a
与
b
不是随机变量,那么根据协方差的定义可以得到:
对于随机变量序列
X
1, ...,
X
n
与
Y
1, ...,
Y
m
,有
对于随机变量序列
X
1, ...,
X
n
,有
协方差矩阵
分别为
m
与
n
个标量元素的列向量随机变量
X
与
Y
,二者对应的期望值分别为μ与ν,这两个变量之间的协方差定义为
m
×
n
矩阵。
两个向量变量的协方差cov(
X
,
Y
)与cov(
Y
,
X
)互为转置矩阵。
协方差有时也称为是两个
随机变量
之间“线性独立性”的度量,但是这个含义与线性代数中严格的线性独立性线性独立不同。
协方差
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