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中心极限定理(Central Limit Theorems)
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中心极限定理(Central Limit Theorems)
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puyang
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puyang
发表于 2010-5-16 01:47:28
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什么是中心极限定理
大数定律
揭示了大量
随机变量
的平均结果,但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下,大量独立随机变量的平均数是以
正态分布
为极限的。
中心极限定理是
概率论
中最著名的结果之一。它提出,大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此,它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法,而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实,因此中心极限定理这个结论使正态分布在
数理统计
中具有很重要的地位,也使正态分布有了广泛的应用。
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]
中心极限定理的表现形式 中心极限定理也有若干个表现形式,这里仅介绍其中四个常用定理:
(一)辛钦中心极限定理
设随机变量
相互独立,服从同一分布且有有限的数学期望a和
方差
σ2,则随机变量
,在n无限增大时,服从参数为a和
的正态分布即n→∞时,
将该定理应用到
抽样调查
,就有这样一个结论:如果
抽样总体
的数学期望a和方差σ2是有限的,无论总体服从什么分布,从中抽取容量为n的样本时,只要n足够大,其样本平均数的分布就趋于数学期望为a,方差为σ2 /
n
的正态分布。
(二)德莫佛——拉普拉斯中心极限定理
设μ
n
是n次独立试验中事件A发生的次数,事件A在每次试验中发生的概率为P,则当n无限大时,频率设μ
n
/
n
趋于服从参数为
的正态分布。即:
该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中,不论总体服从什么分布,只要n充分大,那么频率就近似服从正态分布。
(三)李亚普洛夫中心极限定理
设
是一个相互独立的随机变量序列,它们具有有限的数学期望和方差:
。
记
,如果能选择这一个正数δ>0,使当n→∞时,
,则对任意的x有:
该定理的含义是:如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的,而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大,则这个量服从或近似服从正态分布。
(四)林德贝尔格定理
设
是一个相对独立的随机变量序列,它们具有有限的数学期望和方差 满足林德贝尔格条件,则当n→∞时,对任意的x,有
。
中心极限定理
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