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正态分布(normal distribution)
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正态分布(normal distribution)
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puyang
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puyang
发表于 2010-5-16 01:46:24
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正态分布是一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布,第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值,第二个参数σ2是此随机变量的方差,所以正态分布记作N(μ,σ2 )。遵从正态分布的随机变量的概率规律为取 μ邻近的值的概率大 ,而取离μ越远的值的概率越小;σ越小,分布越集中在μ附近,σ越大,分布越分散。正态分布的密度函数的特点是:关于μ对称,在μ处达到最大值,在正(负)无穷远处取值为0,在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ,图像是一条位于x 轴上方的钟形曲线。当μ=0,σ2 =1时,称为标准正态分布,记为N(0,1)。μ维随机向量具有类似的概率规律时,称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质,例如,多元正态分布的边缘分布仍为正态分布,它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布,特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布的发展
正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究,故正态分布又叫高斯分布高斯这项工作对后世的影响极大,他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称,后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他,也是出于这一工作。高斯是一个伟大的数学家,重要的贡献不胜枚举。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票,其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法:在高斯的一切科学贡献中,其对人类文明影响最大者,就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初,也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性,其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。皮埃尔-西蒙·拉普拉斯很快得知高斯的工作,并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来,为此,他在即将发表的一篇文章(发表于1810年)上加上了一点补充,指出如若误差可看成许多量的叠加,根据他的中心极限定理,误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年,海根(G.Hagen)在一篇论文中正式提出了这个学说。
其实,他提出的形式有相当大的局限性:海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差” 之和,每只取两值,其概率都是1/2,由此出发,按狄莫佛的中心极限定理,立即就得出误差(近似地)服从正态分布。皮埃尔-西蒙·拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义,在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为,高斯的说法有一点循环论证的气味:由于算术平均是优良的,推出误差必须服从正态分布;反过来,由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性,故必须认定这二者之一(算术平均的优良性,误差的正态性) 为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由,以它作为理论中一个预设的出发点,终觉有其不足之处。拉普拉斯的理把这断裂的一环连接起来,使之成为一个和谐的整体,实有着极重大的意义。
正态分布的主要特征
1、集中性:正态曲线的高峰位于正中央,即均数所在的位置。
2、对称性:正态曲线以均数为中心,左右对称,曲线两端永远不与横轴相交。
3、均匀变动性:正态曲线由均数所在处开始,分别向左右两侧逐渐均匀下降。
4、正态分布有两个参数,即均数μ和标准差σ,可记作N(μ,σ):均数μ决定正态曲线的中心位置;标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小,曲线越陡峭;σ越大,曲线越扁平。
5、u变换:为了便于描述和应用,常将正态变量作数据转换。
正态分布的应用
1.估计正态分布资料的频数分布
例1.某地1993年抽样调查了100名18岁男大学生身高(cm),其均数=172.70cm,标准差s=4.01cm,
①估计该地18岁男大学生身高在168cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数;
②分别求
、
、
范围内18岁男大学生占该地18岁男大学生总数的实际百分数,并与理论百分数比较。
本例,μ、σ未知但样本含量n较大,按式
用样本均数
和标准差S分别代替μ和σ,求得u值,u=(168-172.70)/4.01=-1.17。查附表标准正态曲线下的面积,在表的左侧找到-1.1,表的上方找到0.07,两者相交处为0.1210=12.10%。该地18岁男大学生身高在168cm以下者,约占总数12.10%。其它计算结果见表-1。
表-1:1100名18岁男大学生身高的实际分布与理论分布
2.制定医学参考值范围:亦称医学正常值范围。它是指所谓“正常人”的解剖、生理、生化等指标的波动范围。制定正常值范围时,首先要确定一批样本含量足够大的 “正常人”,所谓“正常人”不是指“健康人”,而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群;其次需根据研究目的和使用要求选定适当的百分界值,如80%,90%,95%和99%,常用95%;根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值,如白细胞计数过高过低皆属不正常须确定双侧界值,又如肝功中转氨酶过高属不正常须确定单侧上界,肺活量过低属不正常须确定单侧下界。另外,还要根据资料的分布特点,选用恰当的计算方法。常用方法有:
(1)正态分布法:适用于正态或近似正态分布的资料。
双侧界值:
单侧上界:
,或单侧下界:
(2)对数正态分布法:适用于对数正态分布资料。
双侧界值:
;单侧上界:
,或单侧下界:
。
常用u值可根据要求由表-2查出。
(3)百分位数法:常用于偏态分布资料以及资料中一端或两端无确切数值的资料。
双侧界值:P2.5和P97.5;单侧上界:P95,或单侧下界:P5。
表-2:常用u值表
参考值范围(%)
单侧
双侧
80
0.842
1.282
90
1.282
1.645
95
1.645
1.960
99
2.326
2.576
3.正态分布是许多
统计方法
的理论基础:如t分布、F分布、
x
2分布都是在正态分布的基础上推导出来的,u检验也是以正态分布为基础的。此外,t分布、二项分布、
Poisson分布
的极限为正态分布,在一定条件下,可以按正态分布原理来处理。
数据正态分布检验 Q-Q图
[1]
要观察某一属性的一组数据是否符合正态分布,可以有两种方法(目前我知道这两种,并且这两种方法只是直观观察,不是定量的
正态分布检验
):
1:在spss(Statistical Package for the Social Sciences,即“社会科学统计软件包”)里的基本
统计分析
功能里的
频数
统计功能里有对某个变量各个观测值的频数
直方图
中可以选择绘制正态曲线。具体如下:Analyze-----Descriptive Statistics-----Frequencies,打开频数统计对话框,在
Statistics
里可以选择获得各种描述性的
统计量
,如:均值、方差、分位数、
峰度
、标准差等各种描述性统计量。在Charts里可以选择显示的图形类型,其中Histograms选项为柱状图也就是我们说的直方图,同时可以选择是否绘制该组数据的正态曲线(With norma curve),这样我们可以直观观察该组数据是否大致符合正态分布。如下图:
从上图中可以看出,该组数据基本符合正态分布。
2:正态分布的Q-Q图:在spss里的基本统计分析功能里的探索性分析里面可以通过观察数据的q-q图来判断数据是否服从正态分布。
具体步骤如下:Analyze-----Descriptive Statistics-----Explore打开对话框,选择Plots选项,选择Normality plots with tests选项,可以绘制该组数据的q-q图。图的横坐标为改变量的观测值,纵坐标为分位数。若该组数据服从正态分布,则图中的点应该靠近图中直线。
纵坐标为分位数,是根据分布函数公式F(x)=i/n+1得出的.i为把一组数从小到大排序后第i个数据的位置,n为
样本容量
。若该数组服从正态分布则其q-q图应该与理论的q-q图(也就是图中的直线)基本符合。对于理论的标准正态分布,其q-q图为y=x直线。非标准正态分布的斜率为样本标准差,截距为样本均值。
如下图:
正态分布
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