混沌中的数学

马克思曾经说过，一门学科，只有当它能够成功运用数学的时候，才有可能成为一门真正的科学。的确，数学总是以其简洁性，明确性走在所有科学的前列，任何学科都把能否能够成功运用数学作为自身是否成熟的标志。
　　 然而，混沌的世界却不象以往的数学那么单纯。
　　 在混沌的世界中，今天并不能预测明天，如果我们以简单的线性模式去理解世界，最终一定会被碰得头破血流。
　　
股票市场充斥着无数的交易者，他们是各行各业的精英，整体上看，无论是处世能力，专业学历，还是智商情商，都显然要高于任何其他行业。但是，就是在这样的一个市场，却天天在上演着悲剧：每十个交易者当中，有九个处于亏损状态。

　　 我想，交易者中一定有亏损累累的数学博士。
　　
　　
作为职业的交易员，除了算数比较快以外，我并不精通数学，甚至不懂高等数学（当年在大学学的内容，已经基本上还给老师了），但是这些并不妨碍我交易获利，保持良好的交易成绩。

　　 混沌理论告诉我们：思维的方式要远比计算的方式重要。
　　
　　 本文主要阐述的是混沌理论中的数学部分，不需要高深的数学知识，或者说，我希望交易者能够理解的并不是数学公式，而是公式本身带给我们的启发。
　　 本文同时是《混沌的启示》和《混沌理论在中国证券市场的应用》的姐妹篇。我试图通过这三篇文章，系统地解释混沌理论和混沌理论在中国证券市场的运用。
　　 鉴于我对混沌理论的粗浅认识和理解，有不当之处，尚请读者多加批评指正。希望能够抛砖引玉，共同促进混沌理论在中国证券市场的推广和应用。
　　
　　一：迭代
　　
　　 在中学课本中我们学过，一个一元函数，通常可以表示为：
　　 Y=f(x)
      　　 这里X是自变量，Y是因变量。例如：
　　 Y=3X+1，
　　 如果X=1，那么Y=4；如果X=4，那么Y=13；总之，如果X被确定，那么相应的Y也被确定。
　　 我们用一个抽象的符号F，来表示Y遵循X变化的因果关系。废话连篇的解释是：数字Y随数字X的变化而变化，Y由X来决定，决定的依据是“关系”F。
　　
　　
如果我们利用某个关系函数，比如Y=F（X），代入一个X算出一个Y，又将Y作为新的X再次计算下一个Y………如此不断，这种方法在数学上称为迭代，具体的表达式是：

　　 Xn =F(X n-1 )，n=1,2,3……..
      　　
通常，数学家们只研究[0，1]区间到[0，1]区间-------不仅Xn-1在[0，1]区间，而且Xn也在[0，1]区间-------的迭代，因为任何[a，b]区间到[a，b]区间的迭代，都可以通过“变量转换”-------将X’=（x-a）/（b-a）看成是迭代变量------转换成[0，1]区间到[0，1]区间的迭代。

　　[0，1]区间之所以受到非常重视，是因为[0，1]区间的每一个数字都具有“占
　　有多少的份额”的直观意义，比如0.3，就是30%。
　　
　　 看一个具体的迭代例子：Xn=Axn-1(1-Xn-1)，其中A是常数。这是一个生态学的有关公式，表达的是某个物种的规模变化规律。
　　 如果我们假设A=1.5，X是一个小于1的数字，比如0.1，那末数次迭代的数据是：
　　 迭代次数 Xn-1 Xn
      　　 1 0.1 0.135
      　　 2 0.135 0.175
      　　 3 0.175 0.217
      　　 4 0.217 0.225
      　　 5 0.225 0.285
      　　 6 0.285 0.305
      　　 7 0.305 0.318
      　　 8 0.318 0.325
      　　 …………………………….
      　　 ……………………………..
      　　 20 0.333 0.333
      　　 可以看到，大约经过20次迭代以后，Xn稳定在1/3左右。
　　

　　 在证券市场，几乎每个人都知道费波那齐数列（Fibonacci
      Series），其实这也是一个经过迭代而产生的数列，不过稍微有些复杂，其表达式是：
　　 Xn+2=Xn+Xn+1 ，n=2,3；
　　 整个数列是：2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…………..即每一个数字为前面两个数字的和。
　　
费波那齐数列有一个特性，那就是：如果我们把费波那齐数列中的每一个数字和随后的数字相比，就会得到一系列越来越接近无理数0.618………….的数字。比如：

　　 2/3=0.66666…..
      　　 3/5=0.6
      　　 5/8=0.625
      　　 8/13=0.6154
      　　 …………….
      　　 55/89=0.61798
      　　 89/144=0.61805
      　　 ……………….
      　　
因此，我们也可以称费波那齐数列为一个等比数列，这个等比数列的公比q无限趋近于无理数0.618………….数学上称公比q向0.618……收敛--------当费波那齐数列中相比的数字逐步增大的时候，公比q一大一小地，向0.618………无限接近。

　　
      0.618…..，又称为黄金数字。据说，任何物体形状如何符合这个数字比例，会给人以美感和舒适感。这个数字还有其他一些特点，比如：1/0.618=1.618；0.618*0.618=0.382=1-0.618等等；在《混沌理论在中国证券市场的应用》一文中，我们会再次提到它。

　　
　　
在数学上，一个迭代的公式被看做是一个动力系统，点由于迭代而产生的变化和发展情况是动力系统研究的对象。同样，股票价格运动也是一个动力系统，其动力源泉是交易行为，或者说成交量，因此我们说，趋势（价格运动）是由一系列的交易迭代而形成的------在不同价格上的不同的成交量，就是数学中迭代的点，而价格运动本身就是迭代的结果。

　　
事实上，在股票市场中，并没有严格意义上的数学迭代，或者说，没有数学意义上那么公式化的迭代，但是毫无疑问，今天所有的交易，都会被计算到以前所有的交易中，推动今后的价格的发展变化-------也就是说，被迭代了，只是在某一个周期，趋势可能符合某一个迭代公式，而在其他周期时，则符合其他的迭代公式。

　　 作为非理论研究者，或许我们没有必要去寻找所谓的证券迭代通项公式，但是知道其数学原理却是应该的。
　　
　　
在《混沌的启示》中我们说过，证券市场是一个混沌的市场，想找出证券市场的迭代通项公式，绝非一件易事，如果有幸能够找到其中一个、两个，已经是非常难得了，何况，也许这个所谓的通项公式根本就不存在呢！

　　
　　二：周期
　　
　　
把一个X放到F（X）中迭代，得到一个新的X’=F（X），一般地说，X和X’是不会相同的。但是有时候会有这样的情况，一个X迭代以后，得到的X’，和原来的X是相等的，就是说，X经过迭代以后，并没有变化，新的X’=X，还在原来的位置，这样的X叫做迭代函数F（X）的不动点。

   

　　 随便想一想就知道：有些迭代函数有不动点，而有些则没有。
　　 但是，[0，1]区间到[0，1]区间的迭代一定有不动点（这一点可以通过微积分中的介值定理证明，由于不动点并非本节重点，因此这里不做证明过程）。

　　
　　
如果从X0开始按照公式Xn=F（Xn-1）迭代，迭代K次以后就回到原来的地方X0，但是迭代次数小于K时都不能回到X0，那么，X0就叫做函数F（X）的周期点，K就是函数F（X）的周期。

　　 我们以周期3为例做详细解释。
　　
      Xn=F（Xn-1）是[0，1]区间到[0，1]区间的迭代。假如X0是这个迭代的3周期点，那么，X1=F（X0）≠X0，X2=F（X1）≠X1≠X0，而X3=F（X2）=X0，把这些点画在图中，可以看到：

　　 X0经过一次迭代到X1，X1经过一次迭代到X2，X2经过一次迭代又回到X0，就是说，X0经过三次迭代，又回到原来的地方。
　　 就是因为X0经过三次迭代回到原位，所以X0叫3周期点。
　　
很显然，我们还能够注意到，X1也是3周期点，因为X1同样可以经过三次迭代后回来，同样，X2也是3周期点。所以，周期3的函数，至少有3个3周期点。
　　 现在你明白了，所谓的不动点，实际上就是1周期点。
　　
　　 如果你是一名证券交易参与者，我不知道上面的文章会给你什么启示，对于我来说，产生了如下的感想：
　　
既然价格趋势由迭代产生，那么必然会产生周期，尽管周期可能非常难以琢磨和寻找，但是它的确是存在的，这一点，从那些运用周期理论的交易专家身上或许会得到更多的启发-------他们根本不关注价格变化而是仅仅关注价格周期和时间周期，并因此而取得令人敬佩的交易成绩。

　　
当然，我相信不是每一个使用周期的交易者都是专家，也不是每一个周期交易专家都懂得其中的数学原理-------证券市场的一个特点是：理论不能说明什么，获利才是硬道理。但是有些人号称能够将周期理论做改进，捕捉到市场每天的高低点，每天获利N%，就真的有些哗众取宠，胡说八道了。

　　
　　
可能很多交易者仅仅听说过时间周期，没有听说过价格周期，其实很简单，既然有横向的时间周期，那么就必然有纵向的价格周期，从某个角度讲，价格周期可以理解为在某一时间段内价格的运动范围，但是并不完全相同。

　　 由于周期本身相当虚幻和深奥，这里不做深入探讨，我们会在《杠杆操作法中级------稳定获利》中继续讨论。
　　
　　三：沙可夫斯基定理和周期倍增分叉现象
　　
　　 苏联数学家沙可夫斯基将所有的自然数按照如下的次序做了排列：
　　 3，5，7，9，11，13，15，17，……………..；
　　 3x2，5x2，7x2，9x2，11x2…………….；
　　 3x22，5x22，7x22，9x22，11x22…………..；
　　 3x23，5x23，7x23，9x23，11x23…………….；
　　 …………………………………
      　　 ………….26，25，24，23，22，21，20。
　　 这个次序现在被称为沙可夫斯基次序。
　　 对于连续的区间迭代，沙可夫斯基证明了：假设M在沙可夫斯基次序中，排在N的前面，那么，如果有M周期点的话，就一定有N周期点。
　　 这就是沙可夫斯基定理。
　　 根据沙可夫斯基定理我们可以知道，如果一个函数有3周期，由于3在沙可夫斯基次序中处于最前面，那么这个函数就会有任意自然数的周期。
　　

　　 周期倍增分叉现象：
　　 在函数Xn=AXn-1（1-Xn-1），n=1，2，3………….
      　　当中，随着参数A的增大，先是只有周期1的稳定解；当A增大到A1时，周期1的稳定解分叉为2个周期2的稳定解；当A增大到A2时，2个周期2的稳定解又分叉为4个周期4的稳定解…………当A增大到Am时，周期2m-1的稳定解又分叉为2m个周期2m的稳定解…………如此继续。

　　
　　 沙可夫斯基定理和周期倍增分叉现象，在实际的证券交易中也许并没有什么意义，这里着墨，主要是为了介绍“数学对混沌的定义”和菲根鲍姆普适常数。
　　
　　四：数学对混沌的定义
　　
　　 1975年，华裔数学家李天岩和他的导师在《美国数学月刊》中发表了一篇论文，题目是《Period Three Implies
      Chaos》-------《周期3意味着混沌》，用数学的方法解释了“混沌（Chaos）”，并且第一次使用了Chaos这个词。
　　 李天岩在论文《Period Three Implies
      Chaos》中，不仅再次证明了沙可夫斯基定理中“有周期3，就有任意自然数周期”的特例（在此之前，李天岩或许并不知道沙可夫斯基定理，因为沙可夫斯基本人并没有什么名气，也许可以这么说，沙可夫斯基反而是因为李天岩才名扬四海的），而且明确地刻画了“混沌（Chaos）”的数学含义：

　　 设函数F（X）是[0，1]区间到[0，1]区间的连续迭代函数。如果F（X）有如 下性质，就说它有混沌现象：
　　（1） F（X）的周期无上限；
　　（2） 在区间[0，1]中有一个不可数的子集S，使得：
　　 ① 对于S中任意不同的两点X0和Y0，考虑迭代序列Xn=F（Xn-1）和
      Yn=F（Yn-1），n=1，2，3………，当n趋于无穷大的时候，它们之间的距离|Xn-Yn|的上极限大于0，下极限等于0；
　　 ②
对于X0是S中的一个任意点而Y0是迭代的任意一个周期点，考虑迭代序列Xn=F（Xn）和Yn=F（Yn），n=1，2，3………，当n趋于无穷大时，它们之间的距离|Xn-Yn|的上极限大于0。

　　
　　
对于非数学专业的交易者来说，恐怕会被混沌的数学定义搞得晕头转向，说实话，我也是稀里糊涂的。向前数大约1200字，是我请了9个搞数学的朋友，喝了7次茶才写出来的，不过，这7茶可没有白喝，我虽然没有明白数学对混沌定义的深刻含义，但是我明白了一个非常简单的道理，那就是：

　　 周期3导致了混沌。
　　
　　
如果你想使用一种工具，或者建立一个系统，那么，首先就是要了解这种工具或系统的原理和特性，这是必须的一步。这一步没有坚实的基础，以后所有的都是空中楼阁。

　　
我们在《混沌的启示》一文中，初步介绍了证券市场的结构------分形------一个由五支K线组成的形态，表示市场趋势受到了压力或支持。一个分形实际上，在形成以后，最重要的是3支K线，即后面的3支K线。以向上分形为例，在趋势向上的过程的高点以后，如果仅出现一支K线没有新高，并不能说明什么，市场可能是停顿，也可能是继续前进，但是一旦连续两个周期没有出现新高点，和有高点的那一周期，就形成了一个3周期的结构。这个3周期所形成的结构，就可以理解为周期3-------一个导致混沌的数字。

　　 当然，周期3未必就一定导致混沌，因此，我们也把分形分成各种不同类型，比如坚定的分形、犹豫的分形和等待的分形。
　　
另外一个非常重要的观点是：没有分形同样是一种结构------趋势运动有秩序的结构------这个结构简单流畅，是导致我们获利结构，是我们喜欢的结构。
　　

　　 事实证明，无论在中国市场，还是外国市场，分形，或者说周期3，都一种有效的结构、一个有与其他数字有本质区别的数字，至少表现在：
　　1、 周期3导致混沌；
　　2、 周期3是第一个可能导致混沌的周期；
　　3、 有周期3，就有任意周期；
　　4、 分形涵盖了所有的市场趋势反转；
　　5、 在没有出现分形的时候，市场趋势不可能反转，只可能延续；
　　6、 两个逆向分形所形成的杠杆，和分形的周期3有“自我相似”，以最简洁的方式体现出价格趋势的自组织系统及其运动方式；
　　7、 周期3最具有实战价值。
　　这些将在《混沌理论在中国证券市场的应用》、《杠杆操作法初级：告别亏损》中做详细的介绍。
　　
　　
按照拉瑞-威廉的“环形”概念，同样可以得出周期3的结论，但是我认为，环形的变化过于复杂，而且没有分形稳定：在大多数时候，会导致交易者过量交易（Over  Trade）。
　　 目前国内证券市场的波动相对安稳，并不剧烈，而且交易费用也不理想，频繁交易不是一种好的选择。
　　
　　五：菲根鲍姆普适常数
　　
　　 在混沌理论中，菲根鲍姆常数也是一个重要内容。
　　
美国康奈尔大学的物理学家菲根鲍姆（Feigenbaum），发现了被誉为“本世纪最伟大”的发现--------在周期倍增分叉现象中更深层次的规律-----从而揭示出系统从有秩序转向混沌的秘密。

　　
菲根鲍姆发现：在周期倍增分叉过程中，随着分叉次数M的增加，相邻的两个分叉点λm和λm+1的间距Δm=λm+1-λm组成一个渐进的等比数列，分叉宽度ξm也组成一个渐进的等比数列，并且这两个等比数列都有极限。菲根鲍姆测出了这两个等比数列的公比，它们的倒数分别叫做菲根鲍姆常数δ和菲根鲍姆常数α，它们分别是：δ=4.669201……..，α=2.50290…………。

　　 据菲根鲍姆自己说，周期倍增分叉现象和规律的发现，大大地改变了人类对宇宙的认识。
　　
　　 一个系统是否稳定，对我们是一个非常非常重要的问题。
　　
简单的说，如果现在的情况差别不大，随着系统的运行，将来的差别也不大，那么就说系统是稳定的，否则就是不稳定的。但是，稳定和不稳定之间，并没有不可逾越的鸿沟。

　　 菲根鲍姆告诉我们，通向混沌之路，并非是混沌的，而且，这些路是可能探索的。
　　
前面我们说过，在证券市场中，每一个趋势都是一个自组织系统，理解成复杂的数学迭代也未尝不可。作为理论研究者，也许会去试图寻找其中的“菲根鲍姆常数”，但是作为交易者，则需要的是对理论的深刻理解，然后用来指导实践，并以此获利。
　　
　　
　　
混沌理论中的数学，内容要远比我写的多得多。这里做的基础介绍，对于数学专业的交易者来说太浅，对于非数学专业的交易者，可能又太深，不过我能说的，也只有这么多了。

　　 在证券市场，对于交易者来说，我觉得重要的不是知识本身，而是对知识的思考、理解和应用。
　　 市场上有许多“高手”，
狭隘地执着于技术分析或基础分析，更有甚者，执着于狂妄的幻想，可以在某些时刻，甚至是某些时间，在市场中获利。可是，这并非是长久之计。
　　 唐能通（幻想形）就是个很好的例子。当市场处于强大的牛市的时候，无论怎么买都是对的：涨可以追涨，跌可以摊低成本。于是当熊市来临的时候，他失踪了。

　　
作为中国股民，在一个仅仅十年的市场中，我们经历了太多的沧桑（或许美国人也同样如此）：我们还需要学习很多，我们还需要理解很多，我们还需要辨别很多。
　　 愿真理与我们同在。